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拓扑量子计算

2018-03-04

依赖于拓扑物质态的存在,拓扑量子计算成为构建容错量子计算最具前景的方法之一。在对拓扑量子计算作简单介绍之前,我们先来了解一下拓扑与量子计算的关系。拓扑是数学的一个分支,主要考虑几何机构的性质在光滑形变下保持不变。举个简单例子,在做拓扑的研究人员眼中,一个咖啡杯和甜甜圈是没有任何区别的。我们可通过连续光滑的形变,只要不撕裂它,将咖啡杯变成甜甜圈,如图1所示。咖啡杯和甜甜圈是拓扑等价的。从这个简单的例子可以看出,拓扑关心着对局域微扰具有鲁棒性的几何性质。如果一个物理系统也有对局域微扰不敏感的拓扑自由度,那么将信息编码在这些自由度中将自然地对环境中局域相互作用引起的错误具有抵抗能力。如果这个物理系统是一个量子系统,那么我们可以实现无退相干的容错量子计算。这便是拓扑量子计算的想法,是由 Kitaev 提出的。


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图1  在同胚映射下咖啡杯与甜甜圈是拓扑等价的。


拓扑量子计算开始于拓扑物质态中的基本激发子或者任意子。任意子是一种只发生在二维系统中的具有不平庸统计的粒子。这种粒子既不是玻色子,也不是费米子。量子统计可理解成为一种特殊的相互作用;当两粒子沿着某些指定的轨道交换时,量子态会多出一个相位因子image.png。三维中只有一种可区分的方式交换两粒子。交换两次等价于单位操作,所以image.png。相反地,在二维里,两次交换对应于一个粒子绕着另外一个粒子转了一圈。这个过程是拓扑不平庸的。因此,交换相位image.png可取任意值。这也是任意子名称的来源。任意子的研究最早始于1980年代的Wilczek。他提出了一个简单但十分抽象的模型。该模型基于2+1维的电动力学,存在整数电荷和磁祸旋。两种粒子分别都是玻色子。但是当一个电荷q绕一个磁锅旋v一周时,多出了相位,这是大家熟知的Aharonov-Bohm相。所以电荷和磁锅旋有平庸的互换统计。电荷,磁涡旋义及它们的组合(q, v)都属于任意子。


描述量子统计的一种通用方法是在2+1维时空中引进粒子世界线。世界线可以形成编织,因此统计也被编织群表象来度量。在上面的讨论中我们已经假设了编织只有相位因子,即表象是一维的。这对应为阿贝尔任意子。若编织群的表象是多维的,则对应的是非阿贝尔任意子。事实上,涉及几个任意子的多维空间是非常重要的。该空间的矢量是具有相同能量的量子态。历史上,非阿贝尔任意子理论出自共形场论。然而,只有共形场论中的拓扑和代数结构与任意子有关。这种结构的不同发现于许多工作尤其是Moore 和Seiberg的文章中。Witten 关于量子Chern-simons 理论工作也是有很大影响的。还有更多抽象的方法也由Fredenhagen 等人发展了起来。


最令人惊奇的是,任意子可W真实地出现在一些凝聚态系统中。这样的系统有着非常不平庸的基态即被描述为拓扑序。最好的例子是在分数量子霍尔系统中出现的填充因子为image.png的 Laughlin 态。它载有交换相位image.png的阿贝尔任意子和电荷±1/3。送个统计相位最近己有实验探测。在实验中他们利用了准粒子遂穿效应。另外一种观测到的态是image.png。这种态比较脆弱,较难在实验上研究。其他的证据则建议能被 Moore 和Read 提出的漂亮的理论所描述的系统。Moore-Read 态被认为有荷±1/4的非阿贝尔任意子。如果有2n个这样的粒子存在,则希尔伯特空间的维度为2n-1


任意子观点假设了相关的态有是能隙的,至少对拓扑非平庸的准粒子是这样。否则,激发子是不能局域化甚至连编织都不能定义。如果所有的激发子有能隙,关联子随距离指数衰减。一个例子是存在于一个自旋1/2系统的任意子,其源于共振价键理论(RVB)。共振价键理论由Anderson 提出后作为无接杂绝缘相模型用于高温超导体上。问题似乎可W用类海森堡哈密顿量来描述,但它的解己证明是很复杂的。一个共振价键态有几种变形包括有能隙的和无能隙的。这里我们讨论一种特殊的有能隙的共振价键态,即存在于角晶格也存在于方晶格中。这种相有四种准粒子:平庸激发子,自旋子,Z2涡旋和自旋子满旋组合子。自旋子和Z2涡旋间的互统计为-1,所以组合子是玻色子。一些共振价键态有可能在image.png材料中实现。另外一个例子是出现在 toric code 模型的阿贝尔任意子,与共振价键态一样具有相同的拓扑序普适类。


我们先来了解一下拓扑量子计算的基本原理。首先,拓扑有序系统在一定条件下如在一个圆环面上是有简并的基态的。我们阿贝尔任意子为例。考虑这样的的一个的过程,即一对粒子和反粒子产生,其中一个粒子绕圆环面一周后,粒子对消失。这样的过程对应着作用到基态的一个算符。如果A和B是对应到圆环面上两个基本环的算符,那么image.png描述彼此间绕了一圈但并没有交叉的过程。如果Aharonov-Bohm 相是不平庸的,那么A和B不对易。因此他们作用于多维空间上。实际上,简并不是绝对的但却非常精确的。虚粒子隧穿会导致简并打开,但这样的过程是能够被指数抑制的。所W基态能级间隔正比于image.png,其中L为圆环面的线性尺寸和image.png是与激发谱能隙相关的特征长度。


在非阿贝尔系统中,即使几种任意子在平面几何上位于远离彼此的地方,简并依然是存在的。其潜在的基本性质可能是这样的:两个给定的非阿贝尔任意子能几种方式融聚,就像是一个非阿贝尔群的多维表示一样。例如,一种非阿贝尔相遵循着下面的融聚规则:

image.png

这里 l 代表真空扇形,image.pngimage.png则为其他的超选择扇形。上面的最后规则特别有趣:两个image.png粒子或者发生煙灭或者融聚成一个image.png粒子。但是当两个image.png粒子分离到很远处时,l 和image.png对应两个量子态,即image.pngimage.png。这些态是持久稳定的。例如,如果我们通过将一个image.png分解成两个image.png粒子创建出态image.png后,等一段时间,然后将两个image.png粒子重新融聚,我们将还能得到一个image.png粒子。这里有一个微妙的性质,即两个融聚态image.pngimage.png实际上是不可区分的,几乎具有相同的能量。事实上,通过乘上不同的因子来区分它们的自然过程是在固定的两个image.png间隧穿一个虚的image.png粒子。这是可能的,因为image.png。然而,image.png粒子间是有能隙的。所这个过程可指数地抑制掉。当然,这解释需要许多细节讲解,有一个通用的原则是不同的融聚态只能通过输运一个准粒子才能被区分出来。这在由热环境和额外的噪声下是不太可能的,除非温度和噪声的频率远低于能隙。


在上面的例子中,两粒子融聚态image.pngimage.png不能形成相干叠加。这是因为它们属于不同的超选择扇形即 l 和image.png。为了实现一个量子比特,我们需要四个image.png 粒子。逻辑|0〉态表示为一个量子态image.pngimage.png态是从真空中产生的两对image.png 粒子,如图2 所示。逻辑|1〉态编码在互补态image.png:我们先创建一对 image.png 粒子,然后将每个粒子分裂成一对 image.png 粒子。注意两个态是属于真空扇形,因此可以形成叠加态。类似的分析可以得到另外两种态,分别为image.pngimage.png。我们有,

image.png

现在我们可完成下面的思想实验。我们先创建量子态image.png,然后融聚粒子对 (1, 3) 和 (2, 4),并在image.png的基矢下测量量子比特。两对粒子有1/2 的概率会发生煙灭,也有1/2 的概率会得到两个image.png粒子。人们也可能想到量子态的鲁棒性的简单测试,即如果没有退相千,那么两个态image.png和 image.png 是永远存在的。


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图2  初始化一个任意子量子比特的四种方式.


正如之前己经提到的,编织可以用精确的算符来描述。两个粒子间逆时针交换算符(巧矩阵)与融聚规则是相关的,这也称为五角方程和六角方程。我们会看到这些方程只有有限的解的一些具体的例子。通常这是被人所知道的不平庸的理论,叫作"Ocneanurigidity"。


图3 给出了拓扑量子计算的基本示意,其主要包括三个部分:任意子创建,编织和融聚。这分别对应于量子计算机的初态化,计算(么正操作)和读出。我们首先在2+1维量子系统上从真空态中激发出几对任意子。真空态也指无任意子的量子态。在最简单的计算模型里,一个量子比特由几个任意子构成,正如上面举得例子一般。它的两个逻辑态|0〉和|1〉是这些任意子融聚的两种可能结果。如果融聚输出不止两种可能结果,那么对应的便是一个qudit。幺正门的实现是通过任意子的编织变换。最后量子态的读出是通过测量任意子融聚后输出的结果。拓扑量子计算的整个过程对噪声和退相干具有天然的免疫力。唯一可能会改变量子态的原因是热涨落导致某些任意子对激发出来,并进行编织,最后煙灭了。我们可以通过降低温度和增加任意子间的距离来指数地降低这种错误的发生。我们知道,由单量子比特门和一个受控门就可以构成普适量子计算。同样地,在拓扑量子计算中我们也只需要一些很少的门就可以构成普适性。这些门是具有拓扑保护性的。


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图3 拓扑量子计算主要包括三个过程:任意子创建,编织和融聚,分别对应于初始化,计算和读出。蓝色的点代表任意子。绿色和红色线为粒子世界线。


不像许多其他的量子计算方案,拓扑量子计算不应该有重要的扩展性问题。通常考虑的初始步骤是实现一个简单的门。实际上这可能是整个问题的关键。换句话说,一旦简单的门实现了,拓扑量子计算也就基本完成。实现一个简单的门是在拓扑量子计算中极具挑战。它要求能够独立控制准粒子。目前来说,还没有达到这样的技术水平。但是人们最终的目标总是希望能够建立一台包含着至少几百个逻辑量子比特而且能够纠错的真实的量子计算机。或者通过软件来,或者利用拓扑保护性质来进行纠错。无论如何,纠错都是未来量子计算机技术的一个重要任务。而在这里,找出拓扑相并进行研究不仅是实现量子纠错的一种非常合理的手段,本身也是基础科学研究的兴趣所在。


参考文献:

1. A. Kitaev, Ann.Phys(N.Y.)321,2,(2006).

2. M.Levin,and X.G. Wen, Rev.Mod.Phys. 77,871 (2005).

3. F.Wilczek, Phys.Rev.Lett. 48,1146 (1982)

4. 罗智煌,“基于核磁共振系统的拓扑相量子模拟和拓扑量子计算实验研究”,中国科技大学博士学位论文(2016).

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