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量子纠错

2018-03-04

不管在经典计算还是量子计算中,错误总是不可避免。在经典的信息处理中,常采用编码的方式降低错误发生的概率 。一种常见的编码称为重复码(repetition code)。假设某个比特取值为 k (k ∈ {0, 1}),我们可以用三个比特编码这个比特的信息,即

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如果某个时刻,三个量子比特中有一个比特发生了错误,则有两个比特的取值为 k,一个比特的取值变为了 1 - k。我们可以测量三个比特的值,就可以判断是哪个比特发生了错误,并把错误纠正。当至多有一个比特发生错误时,这种纠错方式有;而当发生错误的比特不少于两个时,这种纠错方式就会给出错误的结果。假设每个比特发生错误的概率为 p,则通过这种编码的方式,纠错失败的概率为

image.png

可见,只要每个比特发生错误的概率 p 满足 0 < p < 1/2,就有 pe < p,即通过编码纠错使错误发生的概率降低。


类似的,在量子计算中,也可以通过量子纠错降低错误发生的概率。我们考虑一种简单的情况,认为每个量子比特可能发生的错误仅仅是比特翻转(bit flip)。也就是说,对于单个量子比特的态 image.png,存在 p 的概率使量子比特的态变为 image.png。为了降低错误发生的概率,我们用三个量子比特编码一个量子比特,即

image.png

则对于单个量子比特的态

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将其编码为

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有时候我们称 image.png 为物理比特的态,称 image.png 为逻辑比特的态。图1为对单个物理比特的态 image.png 进行编码的量子线路图。

图 1.14 对单个量子比特的态 jψ⟩ 进行编码的量子线路图。这种编码方式可以用来降低发

生比特翻转的错误概率。

QQ图片20180118154654.png


图 1.14 对单个量子比特的态 image.png 进行编码的量子线路图。这种编码方式可以用来降低发生比特翻转的错误概率。


如果至多有一个物理比特发生错误,则可能发生错误的情况如表1所示。为了确定是哪个物理比特发生了错误,我们用投影算符 {P0, P1, P2, P3} 对逻辑比特的态进行测量,其中

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可以验证,测量后逻辑比特的态不发生改变。表1列出了几种错误方式对应的测量结果。可见,根据测量结果可以唯一确定发生错误的物理比特。例如,如果测量结果是 2,则说明第二个物理比特发生了错误。我们只需要再对发生错误的物理比特施加量子非门,就可以得到未发生错误的逻辑比特的态。也就是说,通过这种编码纠错的方式,对于至多一个物理比特发生的错误可以有效纠正。

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表 2 单个物理比特的比特翻转错误对逻辑比特的态的影响及用投影算符 {P0, P1, P2, P3对发生错误的逻辑比特的态的测量结果。表中我们只列举了至多有一个物理比特发生错误的情况。


当不少于两个物理比特同时发生比特翻转错误时,上述纠错方式就会失效。因此,与经典情况类似,纠错失败的概率为 image.png。只要每个物理比特发生比特翻转错误的概率 p 满足 0 < p < 1/2,通过上述纠错编码的方式就可以有效降低错误发生的概率。


与经典情况不同的是,量子比特可能发生的错误类型不仅仅是比特翻转。另一种常见的量子比特的错误类型称为相位翻转(phase flip),即对于单个量子比特的态image.png,存在 p 的概率使其变为 image.png。更一般的,任意单个量子比特的错误可以描述为,对于单个量子比特的态 image.png,存在 p 的概率使其变为image.png。大家已经找到编码方式能够纠正任意单个量子比特的错误 ,如 Shor 编码(Shor code)、 Steane 编码(Steane code)、面编码(surface code) 等。


在量子计算中,我们可以通过编码,将逻辑比特作为承载信息的基本单元,对逻辑比特施加量子逻辑门,并不断进行纠错。我们希望能够通过这种方式,避免计算过程中的错误累积,一直保持量子比特的错误概率在极低水平。我们称这种能够避免错误累积的量子计算为容错量子计算。要实现容错量子计算,仅仅对量子比特编码并不断纠错是不够的。其中的一个问题是,对逻辑比特施加的量子逻辑门可能会导致某个量子比特的错误扩散到多个比特,从而导致纠错失败。要解决这个问题,需要我们能够以容错的方式实现对逻辑比特的量子逻辑门,即保证施加量子逻辑门时量子比特的错误至多只会扩散到很少比特。大家已经找到能够容错的实现由 Hadamard 门、相位门、 π/8 门和受控非门组成的普适量子逻辑门的方式。另外,在前面的分析中,我们默认对量子比特的编码和纠错过程是完美的。事实上,编码和纠错过程也可能引入错误。幸运的是,阈值定理(threshold theorem) 告诉我们,在保证每个量子逻辑门的错误率以及对量子比特的初始化和测量的错误概率低于某个阈值的情况下,容错量子计算是可以实现的。不同的编码方式对应的容错阈值不同。以 surfacecode 为例,一般认为通过 surface code 实现容错量子计算,对阈值的要求是 1%。还有一种就是拓扑量子计算也能降低对阈值的要求。


参考文献:

1. F. J. MacWilliams and N. J. A. Sloane, The theory of error-correcting codes. North-Holland, Amsterdam (1977).

2.  P. W. Shor, Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory. Physical Review A 52, 2493 (1995).

3.  A. M. Steane, Error Correcting Codes in Quantum Theory. Physical Review Letters 77, 793 (1996).

4. A. G. Fowler, M. Mariantoni, J. M. Martinis, and A. N. Cleland, Surface codes: Towards practical large-scale quantum computation. Physical Review A 86, 032324 (2012).

5. 耿建培,“基于固态自旋量子比特的高保真度量子逻辑门的实验研究”,中国科技大学博士学位论文(2017).

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