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量子随机行走

2018-01-18

量子随机行走(quantum random walk),又称量子游走或者很文艺的量子漫步,是经典随机行走的量子版本。正是由于经典行走在设计随机算法中的广泛应用及较低效率,2001 年 Ambainis, Kempe 和 Childs 等人提出可以利用量子随机行走开发量子算法,拟对这些问题提供量子加速性。对一些经典上的难问题,例如黑盒子问题,量子随机行走可以提供指数加速, 而对于另外一些特定问题,比如元素分离问题,三角搜索问题, NSND树判断问题等等,可以提供多项式加速。


1. 经典随机行走

经典随机行走起源于 RNy8 年爱因斯坦发表的关于布朗运动的研究论文。在那之后一个世纪,关于布朗运动以及相关的随机行走模型的研究有了长足的进展,不仅在物理学中,也在其他的学科比如化学,地理,生物甚至经济学中都被广泛应用。作为马尔科夫过程,随机行走可以在任意的图上实现。让我们来看一个关于经典随机行走的简单的例子。


不失一般性,我们考虑一个一维晶格上的随机行走过程。假设一维晶格上一共存在 N 个格点,每个格点都用一个正整数或者负整数来标记,如图1(a)所示,所有的格点从 -9 到 +9 依次标记。在每一次行走后,我们都只能处在某个格点上,同时假设我们初始时呆在 0 处。然后我们抛掷一枚经典的硬币,它只能朝上或者朝下。当硬币朝上时,我们往左走一步,反之则往右走一步。在一定的步数 T 之后,我们可以计算行走者处在每个格点上的概率(图1(b))。当然,我们也可以选择两个方向是不等概率的,即硬币处于朝上和朝下的概率是不同的。

QQ图片20180118111104.png

图 1 (a) 一维晶格上,行走者可以通过投掷硬币来决定两个行走的方向。(b) 一维晶格上经过 T 次行走之后行走者所处的状态。可以看出,行走者处于中间的位置大于处于两端的概率。


依据概率论的知识,在经过足够长的步数之后,行走者所处位置的概率分布为

image.png

其中 x 表示一维晶格上的位置。可以看出,行走者所处位置的概率分布为Gauss分布,最终所处的位置平均值为 0, 且位置的协方差为 image.png。因此从统计的角度看行走者距离中心的距离是和步数的平方根成正比的。


2. 离散型量子随机行走

在经典行走过程中,行走者每次只能朝一个方向走。而在量子化的行走过程中,由于量子力学的叠加性,量子行走者可以朝两边同时走,除非被测量塌缩 (图2)。而在量子随机行走中,目前主要分为两种:离散型 (discrete time) 与连续型 (continuous)。本节我们介绍离散型量子随机行走。


离散型量子随机行走又叫硬币型量子随机行走 (coin quantum random walk)。顾名思义,在离散型中,我们需要一枚量子硬币。简单起见,我们依然只讨论一维晶格上的离散型量子随机行走。

QQ图片20180118111709.png

图 2 (a) 量子行走的原理性示意图。行走者可以通过量子硬币的状态同时朝左和朝右行走,正体现了量子力学的奇异性质。 (b) 离散型量子随机行走的情况在 T 步之后的概率分布。系统初态为 image.pngimage.png。注意到从 T = 3 开始量子行走与经典行走的差异就显现出来了。


在离散型中,我们要定义两个 Hilbert 空间

image.png

其中 Hc 是硬币的 Hilbert 空间而 Hp 是位置空间,有如下形式

image.png

x 代表位置。在硬币空间中, image.png 指向右走,而 image.png 指向左走。在离散型量子随机行走中,行走算符为以下形式

image.png

其作用是把态image.png 转化为image.png,而把image.png 转化为 image.png


量子随机行走的第一步依然是对硬币的抛掷,类似于经典随机行走,我们一般称之为抛硬币 (coin flip) 算符 C。对于 C 的选取是任意的,而由此表现出的量子随机行走的性质也是多种多样的。常用的抛硬币方法为 Hadamard 操作

image.png

这是一个平衡 的量子硬币。假设行走者初始处于 image.png,而硬币处于 image.png 的话,经过一次抛硬币及行走后,系统的状态将变为

image.png

这时如果对硬币状态在计算基矢中的测量将给出 image.png 的概率均为 1/2。如果我们每次行走后都进行测量的话,那么这就蜕化到了经典随机行走的形式。


在量子随机行走中,我们当然不会每走完一步就进行塌缩测量,也就是每一步之后我们都保持了不同位置间的量子关联,并让它们在接下来的行走中继续互相干涉。正是这种干涉导致了量子行走的奇异行为。


定义量子行走了 T 步的幺正算子为 UT,显然 U 的形式为

image.png

假设我们的初态为 image.png,那么考虑行走几步后的情况 (当然保证中间不进行任何测量)

image.png

我们已经发现得到的结果和经典不同了,经典行走的结果 (图1(b)) 与量子行走的结果 (图2(b))  对比一目了然。


在这个模型中,值得注意的有两点。其一,明显地,最后得到的概率分布是不对称的,而是左重右轻的形式。我们行走100 步后,这种非对称性更加明显,见图3(a)。这种非对称性起源于 Hadamard 硬币对于两个方向image.pngimage.png的处理是不同的,它会在image.png 前面产生一个 -1 的相位。直观来看,这个相位会消除掉很多往右走的步数,而使行走者集中于往左走。如果我们把系统的初始状态定为 image.png 的话我们会发现对称性又变为 右重左轻。我们可以通过选择对称的输入态 image.png,或者把抛硬币操作定义为

image.png

来消除这种非对称性,见图3(b).

QQ图片20180118113309.png

图3 (a) 初态为 image.png 的系统在经历 100 步行走后的概率分布,使用的为Hadamard 硬币。可以看出概率分布是左重右轻的。 (b) 如果输入态的形式是对称的,在 100 步行走之后概率分布依然是对称的。这里只取了处于偶数位置的概率,因为奇数的位置上概率都为 0。


另外值得注意的是量子随机行走的概率分布是很复杂的,而且和直觉不同,越往两边概率越大。这正是量子世界的奇异性质的体现。这种分布是很难精确分析的,Ambainis 等人利用费曼路径积分理论给出了一个渐进分析。


在经典随机行走中, T 步之后系统的协方差为 image.png,也就是距离初始点的期望距离为 image.png。而在量子随机行走中,协方差的值为 image.png,也就是距离初始点的期望距离为 image.png,这表明量子随机行走是有二次加速的。


3. 连续型量子随机行走

连续型量子随机行走的模型是由 Farhi 等人在 1998 年提出的。连续型初看上去与离散型量子随机行走大相径庭,但它们还是有很多相似性的。在连续型中,我们并不需要硬币空间,也不需要抛硬币。全部的行走过程都发生在位置空间 HP 中。连续型量子随机行走的思路来源于经典的连续型马尔科夫过程,所以经常借助于图来进行描述。定义经典上顶点集合为 V 的图,经典行走的一步可以用一个矩阵来描述,该矩阵会使 V 上的概率分布进行转换。假设 Mi, j 给出一次行走中从 i 到 j 的概率,并定义

image.png

为时间 T 时的概率分布,则有

image.png

也就意味着

image.png

Mi, j 是从 i 到 j 的概率,那么最简单的情况是该概率为 1/di, di 为 i 的维度。

在这种情况下,初始态image.png, 将行走到image.png继而

image.png

等等,以此类推。


为了使这个过程连续化,我们可以假定所有的行走都是一直发生的,而从一个顶点跳到它邻接顶点的概率为 γ。描述这一过程的矩阵为

image.png

在这种形式下,将用完全不同的方程描述

image.png

求解这个方程将给出image.png


我们只要把上面的部分转化到其量子版本就是连续型量子随机行走了。描述行走过程的矩阵被哈密顿量替代,那么行走的算子将变为

image.png

如果我们从某个初态image.png出发,在幺正算子 U 下演化一段时间 T,并对末态的位置进行测量后,也可以得到类似上面的图上顶点的概率分布。这就是连续型量子随机行走的概念。更多详细的讲解请参见文献。


参考文献:

1. 鲁大为,“利用核磁共振量子计算机实验实现量子模拟”,中国科技大学博士学位论文(2012).

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