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量子逻辑门

2018-03-04


在一个封闭的量子系统中,态的演化是满足薛定谔方程的

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其中 image.png 是普朗克常数, H 是整个系统的哈密顿量。对于不含时 (time-independent) 的哈密顿量来说,薛定谔方程有很简单的解

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image.png 是 t = 0 时系统所处的态。一般,我们用幺正算子 U 来定义时间演化算子,即

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也就是说,

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如果用密度矩阵的语言,那么量子系统的密度矩阵演化可以写成

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在后面的表述中,为了方便我们将省略普朗克常数 image.png


一般来说,在简单的量子力学系统中,一般包含单粒子项和两粒子间的相互作用项。三体及以上的相互作用至今还没在实验中被观测到。因此,我们能够实现的量子逻辑门都是单比特门或两比特门。很幸运的是,后面我们将看到,任何幺正操作 U 都是可以拆解成单量子门和受控两比特门的组合的。我们将在下面分别讨论单量子们和两比特门。


最简单的单量子比特门是非门 (NOT gate)。和经典情况类似,非门的作用是可以把 image.pngimage.png 相互翻转。非门的矩阵形式是

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如果输入态是任意态

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那么非门作用后

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另外一种重要的单比特量子门叫做 Hadamard 门,其定义为

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经过 Hadamard 门后, image.pngimage.png 将分别变成 image.pngimage.png ,即

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实际上。任意的单比特操作都可以写成如下形式

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其中 image.png 对应于 Bloch 球上的旋转操作,绕 image.png 轴旋转 θ 角。在定义了泡利矩阵 (Paili matrices) 后

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我们就可以把单比特旋转操作用泡利算子展开

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两比特门中最常见的是控制非门 (controlled-NOT gate, CNOT gate)。在CNOT 门中第一个比特起控制作用,第二个比特为目标比特。当控制比特处于image.png 时,受控非门不进行操作。当控制比特处于 image.png 时,目标比特进行翻转操作。CNOT 门的作用可以表示成

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⊕ 是模 2 操作。写成矩阵形式的话, CNOT 门是 4 × 4 的

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该形式为比特 1 控制比特 2 的 CNOT 门形式。还有一种重要的两比特门叫做SWAP 门,它的作用是把两个比特的状态进行交换,值得注意的是 SWAP 门不是受控的。它的矩阵形式是

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主要的两比特门在量子线路图中用如下符号表示:

QQ图片20180118094323.png

图 1. 几种常用的两比特量子门 (a)CNOT 门, (b)SWAP 门, (c) 控制 U 门, (d) 0 控制 U 门。


事实上,对于多比特系统,更重要的是如下关于量子线路分解的定理:

任意的量子门都可以分解为 CNOT 门和单比特旋转门的组合。

有了以上定理,如果我们能找到有效的分解算法,那么原则上我们可以实现任意复杂的量子计算


参考文献:

1. M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press (2000).

2. D.P.DiVincenzo. Two-bit gates are universal for quantum computation. Phys.Rev.A,51,1015 (1995).

3. S.Lloyd. Almost any quantum logic gate is universal. Phys.Rev.Lett,75,346 (1995)

4. 鲁大为,“利用核磁共振量子计算机实验实现量子模拟”,中国科技大学博士学位论文(2012).

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