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量子比特

2018-03-04

在经典图灵机模型中,储存经典信息的基本单位叫做比特。它是一个二进制变量,其数值一般记做二进制的 0 或者 1。一个比特要么是 0,要么是1,正如向空中抛起一枚硬币,那么它落下后要么正面朝上,要么反面朝上。我们用二进制的比特理论上可以储存任何信息,最简单的,像储存十进制整数就可以利用二进制和十进制的转换。3=11, 4=100, 50=110010 等等。当然,非整数也是可以写成二进制的形式,像 5.5=101.1,也就是说任意实数都可以按精度要求用二进制来表示。而在电子学中,很多器件是非常适合二进制表示的,像电压的高低和开关,电容器的带电荷与否等等,都可以来作为一个比特的载体。但在量子世界,一切都发生了改变。一个量子的硬币不仅可以正面或反面朝上,它甚至可以同时正反面都朝上,在你观测它之前。著名的薛定谔的猫就是这个道理,这只猫在开箱子,也就是观测之前,它又是死的又是活的,处于生和死的叠加态 (superposition state)上。正是叠加性这个奇妙的性质引出了量子比特 (quantum bit, qubit) 的概念。一个量子比特可以认为是一个在二维希尔伯特空间 (Hilbert space) 中描述的两能级量子体系,它可以在数学上被表示为

image.png

其中,振幅 α 和 β 是任意复数,且满足归一化条件

image.png

image.png就是一个image.pngimage.png的叠加态。

image.png的定义中含有一个不能被任何测量手段观测到且没有物理意义的整体相位,因此我们可以把image.png写成

image.png

在几何上,我们可以把这个态表示为一个球面上的点,这个球就叫做 Bloch球,见 图1。这种基于量子力学的表示形式很容易让人联想到拥有两个自由度 θ和 φ 的经典模拟变量 (analog variable),但一个量子比特和经典模拟变量有本质的不同:一个处于 image.pngimage.png 的叠加态上的量子比特,从某种意义上来说,是同时处在 image.png 态和 image.png 态上的!薛定谔的猫的概念就是用一种很通俗的说法描述了量子比特这种奇妙的叠加性。更进一步讲,在一个 n-qubit 的态上,它的自由度是和 n 成指数增长关系的。很快我们就会看到这一点。

QQ图片20180118083948.png

图1. (a) 单比特态 image.png 可以用 Bloch 球上的一个点来表示。 (b) Bloch  球上的 9 个重要的点。一般我们把image.png态定义为 z方向。


两个比特的态,假设每一个都处于任意叠加态image.pngimage.png

则这两个比特的状态可以写成

image.png

其中 ⊗ 是张量积符合,或者叫做直积符号 (Kronecker product)。

为了方便,后面我们将省略直积符号 ⊗,并把image.png 简记为 image.png,以此类推。因此,

image.png

那么,对一个 n-qubit 的寄存器,它的状态可以写成 2n 个态的叠加,

image.png

对这个态的唯一约束条件是归一化条件:

image.png

和单比特情形类似,整体相位是可以忽略的。因此,要描述一个 n-qubit 的纯态需要 22 − 1 个复变量( 混态情形是 4n − 1 个自由度,此处不作详细讨论)。


在物理实现上,原则上具有叠加性质的两态量子系统都适用做qubit。目前的实验室里,像 核磁共振中处于磁场中的自旋 1/2 粒子 (自旋向上和向下),空腔中的原子的态 (原子的基态和激发态),超导结之间隧穿的库珀对 (Cooper pairs处于一个结和另外一个结时),都可以被用作 qubit。当然,如果一个硬币可以同时向上和向下也是可以的,在量子随机行走中我们就会看到这种量子硬币(quantum coin)。


现在我们可以回过头来在看一下经典计算机和量子计算机的差距,这次是存储容量上的。考虑一个简单的情况,我们要储存 45 个自旋 1/2 的粒子,这在量子系统中只是一个很小的体系,只需要 45 个 qubit 就可以实现。但如果我们要用经典计算机完成这个任务,约需要 245 个经典比特,也就是大概4 个 TB 的硬盘!这里有些典型的数据来跟它比较, 4TB 大概是 4000G 或者4000000M,而一部高清蓝光电影大概是 10G,一本书大概是 5M。另外一些比较有意思的数据是,美国国会图书馆的所有藏书总容量大概为160TB 或者说 50 个 qubit,而 2007 年人类所拥有的信息量总和为 2.2 × 109 个 TB,也仅相当于 71 个 qubit 的存储容量。


QQ图片20180118085836.png


图 2 要储存 45 个自旋 1/2 的粒子,我们需要 45 个量子比特或者 245 个经典比特。用这些经典比特组成的硬盘我们可以做很多事情,比如存放 160 个《魔兽世界》, 800 部《阿凡达》, 40 万本《时间简史》或者 200 万首《永恒的东风》。仅仅从存储量上看,经典计算机已经输了。


参考文献:

1. M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press (2000).

2. 鲁大为,“利用核磁共振量子计算机实验实现量子模拟”,中国科技大学博士学位论文(2012).

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