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量子模拟

2018-01-16

量子模拟就是用量子力学的方法来模拟量子系统。其不仅在物理和化学上有很广泛的应用,而且它在生物和材料学,甚至宇宙学上也能解决一些经典计算上难以处理的问题。本文简单的介绍了量子模拟的背景、定义以及实现量子模拟的三个关键步骤,并最后对其应用作了展望。

 

1.1.    量子模拟的背景介绍

量子模拟就是用量子力学的方法来模拟量子系统。三十年前,也就是1982年,费曼就认识到如何模拟量子系统是非常有挑战性的问题[1]。这个问题根本上来说就是计算复杂度的问题:随着量子体系维度的增长,为了存储量子态所需的经典寄存器是指数增加的。上述问题的可能的解决方案也是费曼在同一篇文章中提出:利用基于量子力学规则建造的新型计算机应该可以。在费曼的文章中并没有涉及具体的要用到什么函数或者什么手段,他只是猜测这种计算机应该是可以有效解决这类问题的。十多年后,Lloyd终于证明一台量子计算机是可以作为普适的量子模拟器,来模拟这些问题的[2]。

最近量子模拟变得热门主要是两个方面的原因。第一,理论上很多学科的问题,只要牵涉到量子行为,都可以通过量子模拟来解决。第二,目前实验上的相干控制技术已经足以给出一些演示性的实验来验证量子模拟理论,而且很多研究组也已经在研究十个qubit以上的量子模拟器。

 

2.量子模拟的定义及过程

为了实现量子模拟,我们可以通过一个可控的量子系统来模拟其他量子系统。假设要模拟的系统的量子态为image.png ,该系统经过幺正演化 image.png,从初态 image.png演化到了image.png 。其中 image.png是系统的哈密顿量。而量子模拟器中作为一个可控的量子系统,其初态为image.png ,演化算子为image.png 。这里 image.png是模拟器的哈密顿量,而经过该演化后,模拟器的末态变为 image.png,并且这个态是容易测量的。如果在这两个量子系统间存在一个映射,即  image.pngimage.pngimage.pngimage.png之间存在映射关系,那么原量子系统就可以被模拟,其表示可以见下图。 

 image.png


图1  量子模拟过程的示意图。

 

一般来说,量子模拟的过程分为以下三步:初态制备,幺正演化及测量读出,下面我们将详细讨论这三个步骤。

2.1  初态制备

量子模拟的第一步就是把量子寄存器从image.png 态 上制备到 image.png上。在大多数情况下寻找一个有效的算法是非常困难的,只有一些特定的问题可以做到有效制备初态,比如从一个非对称态出发,可以通过多项式资源制备到反对称的  image.png个叠加态。

2.2  幺正演化

假设量子模拟 的哈密顿量可以写成一系列局域哈密顿量的和 image.png, 比如Hubbard和Ising模型的哈密顿量就是这种形式。如果对所有的image.pngimage.png,满足 image.png,那么有 image.png。否则我们需要用一些近似手段,比如著名的Trotter-Suzuki公式image.png 。当 image.png趋近于0 时,image.png 。这种方法的缺点是高精度依赖于很小的t ,那么也就会产生大量的逻辑门。目前也有很多文献重新强调Trotter-Suzuki公式的缺点。

2.3  测量读出

在得到末态 image.png后,我们必须进行测量来得到需要的信息。一般来说最常用的是量子态重构(tomography)技术[4],但它并不是可扩展的,所要求的资源也是随着体系的增大而指数增加的。为了避免这个问题,也有一些方案提出可以利用通过测量特定的物理参数得到想要的信息,比如相关函数或算符谱,当然这些方法并不是普适的。比如,为了测量期望值 image.png,我们可以通过下图(a)中的线路来实现。把一个辅助比特制备到image.png 后,通过网络图演化后我们只需要测量辅助位的期望值 image.png就可以得到想要的结果。第二个例子是描述如何测量一个厄米算符Q的谱,我们依然可以通过添加辅助位 image.png,并测量辅助位的期望值来实现。

 image.png

图2 (a)测量期望值 image.png的线路图。辅助比特制备到 image.png。(b)测量厄米算符Q的谱的线路图.

 

3.量子模拟的应用及展望

量子模拟在物理和化学上有很广泛的应用。不仅如此,它在生物和材料学,甚至宇宙学上也能解决一些经典计算上难以处理的问题。特别的,如果是模拟量子系统,量子模拟器更是可以预言一些新结论,测试一些新模型,而这些都是经典模拟方法做不到的。最近关于量子模拟的理论和实验进展让我们有理由期待在不远的未来一些特殊的量子模拟器能被建成。当然,理论和实验上还是有些问题要先克服的。从理论的角度看,退相干和相干操控的研究依然是重点,同时对每个量子模拟器给出实验资源需求的估计也是必须的。量子模拟的新应用也是非常值得期待的,毕竟目前大多数的方案和实验都在凝聚态物理上。从实验的角度看,和量子计算机的要求类似,操控和可扩展性依然是两大难题。除了光晶格中的冷原子,其他的量子模拟目前还很难操控大的qubit阵列。尽管如此,光晶格中 的单独控制和读出又是非常困难的,对其他体系这可能又不是一个很难的问题。目前还有绝热量子模拟的概念被提出,这种新型的量子模拟器可能在实验上比基于逻辑门的量子模拟要简单。

 

参考文献:

[1] R. P. Feynman.Simulating physics with computers. Int.J. Theor. Phys., 21:467,1982.

[2] S. Lloyd.Universal quantum simulators. Science, 273:1073,1996.

[3] 李承祖,陈平形,梁林海,戴宏毅  编著.  量子计算机研究(上)-原理和物理实现[M]. 北京: 科学出版社(2011).

[4 ] M. A. Nielsen,I. L Chuang . Quantum Compitation and QuantumInformation.  Cambridge University Press(2003).

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