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量子非定域性

2018-01-16

为了说明波函数不能提供物理实在的完备描述,在1935 年,爱因斯坦、波多尔斯基和罗森发表题为“Can quantum-mechanical description of physical realitybe considered complete?”的文章[1],提出了著名的EPR 悖论(Einstein-Podolsky-Rosen paradox)。爱因斯坦等人首先提出了实在性判据和完备性判据。接着他们构想了一个思想实验,对于一对EPR 关联的粒子,可以通过巧妙的实验同时知道他们的位置和动量,从而突破海森堡不确定性原理的限制,除非这对粒子之间可以瞬时感应。我们知道,根据狭义相对论,信息的传播速度不可能超越光速,因此,爱因斯坦等人认为量子力学是不完备的。在EPR 论证中,暗含着定域实在的假设,其可简单的表述如下,


定域性: 不存在超光速相互作用;

实在性: 一个物理实在量有且仅当此物理量可以被确切的预言而不对系统做扰动,而物理实在的每一个量在理论中要有其对应。


EPR 佯谬显示出了定域实在论与量子力学之间的矛盾。在当时看来,量子力学需要被推广,需要符合定域实在的要求,例如后来的隐变量理论。


薛定谔指出这个悖论的核心在于希尔伯特空间的结构[2],整个系统的态矢量(包括粒子A 和B)可以处于一种纠缠的状态。这意味着我们不能分开考虑一个粒子的态矢,这样的数学形式代表着整个系统,此观点便是量子纠缠的雏形。一个纯态是可分离的有且仅当它可以写成直积的形式:

 image.png

其中 image.png是粒子A(B)的态矢,否则,这个纯态是纠缠态。


自此,纠缠便成了讨论量子理论的非定域性的核心,包括在基本物理领域和技术应用领域。但是很自然的两个问题产生了:怎么判断一个量子态是否纠缠?如果是纠缠的,纠缠度有多大?关于量子纠缠的度量,目前还没有一个统一完整的理论体系,2009 年《现代物理评论》上有一篇关于量子纠缠的详细综述[3],想更深入研究可以去参考。进一步,我们看一下混合态的纠缠定义。设一个两体系统可用密度矩阵ρAB 描述,其为可分离态的条件为

 image.png

其中  image.png是子系统的密度矩阵,{pi} 是相应的概率分布。对于连续变量情况,需要将求和改成对整个概率空间的积分。公式1.6 中的态可以通过定域操作和经典通讯(LOCC)得到,因此,纠缠态也可以理解成不能够通过LOCC 得到的量子态。


 image.png

图1 贝尔实验的示意图。粒子源(S)产生两个粒子分别给两个分隔的观测者Alice 和Bob。收到粒子后,观测者分别进行观测,Alice 的侧量即为x,得到结果a,Bob的测量记为y,得到结果b。此实验是统计Alice 和Bob 选择x 和y 测量得到结果a和b 的联合概率分布p(ab|xy)。


现在我们回到EPR 佯谬上来。尽管有很多工作一直致力于EPR 悖论的理解,但是直到1964 年才有了突破性进展。考虑定域隐变量模型(LHV),贝尔提出了一个不等式[4],如果一个量子态违反了贝尔不等式,则不能被LHV 模型描述,下面做详细说明。


经过相互作用后的两个系统现在空间上分离开,并分别由远隔的观测者Alice 和Bob 观测,如图1.3所示。观测者自由选择观测方式,Alice 的测量记为x,得到结果a;Bob 的测量记为y,得到结果b。接下来是统计Alice 和Bob 选择x 和y 测量得到结果a 和b 的联合概率分布p(ab|xy)。贝尔考虑定域性假设:测量结果a(对b 也是一样)的概率仅与Alice 的选择测量x 和隐变量λ 相关。于是可以将联合概率可写为

 image.png

其中q(λ) 是隐变量λ 的概率分布。


为了更清新的说明,我们假设只有两种测量方式x, y ∈ {0, 1},而测量结果只有两个值a, b ∈ {-1,+1}。令 image.png。我们构造这样一个量 

image.png

根据上公式有image.png 其中image.pngimage.png   均属于区间[-1, 1]。代入S式得image.pngimage.png  。由于image.pngimage.pngimage.png  。于是得 image.png,这即是著名的CHSH 不等式[16]。


   现在有两个qubits 处于自旋单态image.png Alice 选 择的测量方式为image.png Bob 选择的测量方式为 image.png。根据量子力学,很容易计算得出

 image.png

因此,image.png ,违反了CHSH 不等式,也违反了贝尔基于定域实在假设建立的不等式。对定域实在论者,很不幸,有大量的实验已证实我们的量子世界是违反贝尔不等式的,最近,无漏洞的贝尔不等式的违反实验也相继有报道[4]。这意味着定域性和实在性假设至少有一个需要被修正。


贝尔不等式违反之后,量子力学的非定域性逐渐被物理学家们接受,并用纠缠的概念将其量化。目前量子纠缠作为重要的资源已广泛应用于量子计算、量子通信及量子度量学等领域[3],取得了许多重要的进展。然而近些年来的研究表明,量子纠缠并不能完全刻画量子系统中的非经典关联,在有些可分离态中仍然可以表现出非定域性。


参考文献:

[1] A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen, Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?. Phys. Rev. 47 , 21 (1935).

[2] E. Schrdinger, Discussion of probability relations between separated systems. Proc. Cambridge Philos. Soc. 31 , 555 (1935).

[3] R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki, and K. Horodecki, Quantum entanglement. Rev. Mod. Phys. 81 , 865 (2009).

[4] B. Hensen, et al, Loophole-free Bell inequality violation using electron spins separated by 1.3 kilometres. Nature 526, 682 (2015).

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