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超导量子计算

2018-03-04

超导量子计算,作为最有潜力成功的量子计算系统之一,顾名思义就是利用超导体的一些物理性质来实现量子计算。我们知道,超导就是某些导体在低温下表现出零电阻和完全抗磁性的现象。超导中,存在一个非常有意思的效应,叫做约瑟夫森效应(这是由约瑟夫森最先通过理论计算,预测到的一种宏观量子效应,随后被实验证实,并因此于1973年获得诺贝尔物理学奖),即:将一个很薄的绝缘层夹在两块超导体中间,形成一个约瑟夫森结,这样该绝缘体将成为一个势垒,从而超导体中的库珀对将会遂穿过该势垒形成超导电流,从而表现出一定的物理效应。而超导量子计算就是基于约瑟夫森效应,因为基于约瑟夫森结的系统中引入了非线性,区别于谐振子,可以明确地定义二能级系统。


超导量子计算作为实现量子计算的方案之一,相对其它量子计算实现方案有一些独特的优势。首先,与原子和光子等天然的量子体系相比,作为人工二能级原子的超导量子位,其能级结构并非自然赋予的不变量,而是可以通过对电路的设计来定制,并可以通过微波脉冲进行调控;其次,借助于现有的集成电路工艺,超导约瑟夫森电路具有非常方便集成化、规模化的优点,这是光学体系和原子体系所无法比拟的。在超导量子计算机的电路中需要用到的一个基本元件是超导约瑟夫森结。约瑟夫森结是由两层超导体夹着一层绝缘体组成,其中绝缘层很薄,一般不超过 10 纳米,这个厚度使得两个超导电极之间发生弱耦合,出现隧穿电流。约瑟夫森结具有非线性的物理特性,这确保了超导量子器件的能级是非等间隔的,并且与最低两个能级相关的量子态能够被外场很好地控制。


超导量子计算被视为最有可能实现普世量子计算机的体系,在近十几年内迅猛发展。2011 年加拿大的D-wave公司推出第一个商用的基于超导体系的量子退火计算机。在2017年末和2018年初,IBM和英特尔宣布他们分别制造了50和49个超导量子比特的计算机,而谷歌也很快就会发布最新进展;IBM、中科院-阿里巴巴和Intel相继推出基于超导体系的量子计算云平台,让量子计算走向大众。这些研究成果使得距离实现“量子霸权”的目标越来越近。


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那么,在超导量子计算中,我们该如何定义一个量子比特呢?事实上,在超导体中,有三种类型的量子比特——超导相位量子比特、超导磁通量子比特和超导电荷量子比特。


1. 超导相位量子比特

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图 1 (a) 超导相位量子位;(b) 超导相位量子位的等效电路图。


超导相位量子比特通过在约瑟夫森结的两端加上一个固定的偏置电流 Ie来实现(如图1(a))。一个约瑟夫森结可以看作是一个电容 C,一个电阻 R 和一个理想的约瑟夫森元件并联的电路,如图1(b) 所示,图中的叉号表示理想的约瑟夫森结,它的电阻、电容为零,只有约瑟夫森超流在其中流动。由基尔霍夫定律可知

image.png       (1)

上式中的第一项为流过理想约瑟夫森结的超导电流,第二项表示流过电阻的正常电流,第三项为通过电容器的位移电流。将上式可改写为:

image.png              (2)

此方程描述的是虚拟粒子在势场中作阻尼非线性的振动,其中方程左边第二项为阻尼项。虚拟粒子振动的特征频率为 image.png,该频率称为约瑟夫森结的等离子体频率。将 (2)式两边乘上电压 V 并对时间积分,得到能量满足的方程

image.png           (3)

在这里,我们再一次看到约瑟夫森结作为等效电容储存的电能 image.png,作为一个非线性电感储存的磁能image.png, 有正常电流流动时作为一个电阻热损耗的能量image.png。在恒流偏置的情况下,势能包含两项,即

image.png         (4)

这是一个倾斜度为image.png 的余弦周期势,如图2(a) 所示。图1(a) 所示电路的哈密顿量可写为

image.png          (5)

image.png

图 2 (a) 电流偏置的超导约瑟夫森电路的势能曲线;(b) 能级量子化。


它描述一个虚拟粒子在倾斜的余弦周期势中的运动。当偏置电流image.png时,如果虚拟粒子的动能足够小,它将束缚在某个势阱中,如图2所示。在足够低的温度下,粒子的能级是量子化的,且由于是个非谐势阱,能级间隔随能量增加而减小。通过调节偏置电流 Ie调节势阱的深度,使得阱中只能容纳两个或三个能级,如图2(b)所示,选择最低的两个能级态编码超导相位量子位 |0⟩ 和 |1⟩。在 |0⟩和 |1⟩ 张成的子空间中,哈密顿算符(5)约化为

image.png        

其中泡利算符 σz = |0⟩ ⟨0| − |1⟩ ⟨1|,两个最低的能级的能量之差 E01大约为5-10GHz,属微波频段,所以对相位量子位的调控必须用微波。这样,这两个能级便可表示成一个量子比特。


2. 超导磁通量子比特


射频超导量子干涉器件(RF SQUID)是实现超导量子比特最简单的电路,它是包含一个隧道结的超导环,如图3(a)所示。当有外部磁通 Φe穿过超导环时,会在环中产生超流,调节 Φe可以控制环中超流的大小。由于磁通量子化,隧道结两侧的相位差 φ 满足

image.png              (6)

式中 n 为整数,Φ 为通过环的总磁通,它包括 Φe和由环自感产生的磁通。此系统的势能可表示为

image.png          (7)

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图 3 (a) 单个约瑟夫森结的超导磁通量子位线路;(b) 超导磁通量子位的能级图。


上式第二项为超导回路的自感磁能。电路的拉格朗日量为image.pngimage.png当环的自感足够大,且外加磁通在 Φe= Φ0/2 附近,系统等价于一个质量为image.png 的虚拟粒子在双势阱中运动,如图3(b) 所示。势阱的形状可以通过外加磁场来改变。在超低温条件下,双势阱中的能级量子化,利用左右势阱中能量最低的两个态作为量子位的两个状态,称为磁通量子位。物理上,左右两个量子态分别对应于环中的顺时针和逆时针方向的超流。


为了实现双势阱的结构,环的自感必须足够大,因此要求环的尺寸较大。但是较大的环的尺寸会导致磁通量子比特对外界磁通的起伏非常敏感,从而引起它的消相干。为了解决这个问题,Delft 的 Mooij 小组和 MIT 的 Orlando 小组合作提出了一种新的磁通量子位——三结磁通量子位。该磁通量子位用约瑟夫森结的电感来代替超导环的几何电感,从而减小环的面积,抑制了外界噪声的影响。如图4(a) 所示,一个超导环中包含两个大的约瑟夫森结和一个小约瑟夫森结,每个结的约瑟夫森耦合能都远大于结的充电能。其中两个大结的具有相同的约瑟夫森耦合能 EJ 和结电容 CJ,另一个结具有小的约瑟夫森耦合能 αEJ和结电容 αCJ(0.5 < α < 1)。由于这个结构的尺寸较小,因此可忽略其自感磁能。于是系统的势能为

image.png              (8)

上式中已经考虑了量子化条件image.png

方程中 φ1、φ2和 φ3分别是三个结两侧的相位差。当外加磁通在 Φe= Φ0/2 附近时,其势能的等高线图如图4 (b) 所示。

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图 4 (a) 三结磁通量子位;(b) 在 Φe= Φ0/2 附近的势能曲线,势阱中的两个黑色的点对应两个基矢态。


在相空间中,等高线在纵向和横向都是以2π 为周期的二维周期结构。在每个 2π × 2π 的元胞内有一个双势阱,双势阱中两个能量最低的能级与其他能级分隔较开,形成一个准二能级系统。与这两个能级相应的本征态分别对应顺时针电流态 |0⟩ 和逆时针电流态 |1⟩。当外加磁通 Φe远离Φ0/2 时,虚拟粒子俘获在左右势阱中难于隧穿,表现为两个经典的电流态。而在Φe= Φ0/2 附近,虚拟粒子会产生隧穿,导致左右简并的能级劈裂,∆ 为最小的能量间隔,如图5所示。 在 |0⟩ 和 |1⟩ 张成的子空间中,系统的哈密顿量约化为

image.png            (9)

这里 Ip为环中的持续电流,image.png 这样我们便可以用势阱中获得一个二能级系统。事实上,我们通常用粒子处于左右两个势阱中的哪一个来标记量子态,从而描写一个量子比特,而这两个量子态则分别对应于超导环中有一个顺时针和逆时针的超导电流。


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图 5 超导磁通量子位的能级图


3. 超导电荷量子比特


最简单的超导量子位的线路如图6 (a) 所示。 一个库珀对盒子通过一个约瑟夫森结和一个大的超导体耦合,另一端通过门电容 Cg和控制门电压耦合。当减小约瑟夫森结的尺寸时,可以使结的电容 C减小,从而增大约瑟夫森结的充电能EC。如果充电能 EC远大于结的耦合能 E时,起主要作用的是电荷自由度。在足够低的温度下(kT ≪ ∆),粒子隧穿被抑制,只有库珀对隧穿到超导岛上。隧穿到岛上的库珀对数可以通过调节门电压进行控制。系统的哈密顿量写为

image.png         (10)

其中 n 为岛上剩余的库珀对数算符,image.png为单电子的充电能,门电荷数image.png。在ng 等于半整数附近,岛上相差一个库珀对的两个临近电荷态的能级与其他能级分隔较开,形成一个准二能级系统,称为电荷量子位。比如在 ng= 1/2 附近,岛上不包含多余库珀对和包含一个多余库珀对的两个态起主要作用,如图6(b)。用 |0⟩ 和 |1⟩ 分别表示这两个态,在这两个态张成的子空间中,哈密顿量(10)式约化为

image.png

上述电荷量子位的耦合能无法控制,如果用含两个结的超导量子干涉仪代替约瑟夫森结,并在干涉仪的环中施加磁通 Φe(如图6(c)),就能得到由外部磁通Φe调控的有效耦合能 image.png,其中 EJ0是量子干涉仪中每个结的约瑟夫森耦合能。这样,通过控制电极电压,可以让系统变成一个近似的二能级系统,能级如下图所示,从而完成一个量子比特的表示。

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图 6 (a) 最简单的超导电荷量子位;(b) 超导电荷量子位的能级;(c) 耦合能可控的电荷量子位。


总结一下,超导量子比特比较容易在芯片上集成,即它的可扩展性很好,同时也可以灵活地控制参数使得它具有良好的初态制备能力,以及由于超导作为一种宏观量子行为,使得它的读出能力很强。但是,超导量子比特耦合了很多环境自由度,因此其退相干时间太短了,而且需要在极低的温度下工作,使得它资源消耗较大。


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参考文献:

1. Mooij J E, Orlando T P, Levitov L, Tian L, van der Wal C H, and Lloyd S. Josephson persistent-current qubit [J]. Science, 1999, 285(5430): 1036-1039.

2. Makhlin Y, Sch¨on G, Shnirman A. Quantum-state engineering with Josephson-junction devices [J]. Rev. Mod. Phys., 2001, 73: 357-400.

3. Clarke J, Wilhelm F K. Superconducting quantum bits [J]. Nature, 2008, 453: 1031-1042.

4. Wendin G and Shumeiko V S. Quantum bits with Josephson junctions [J]. Low Temperature Physics. 2007, 33: 724-744.

5. 张祖荣,“抗消相干超导量子计算研究”,国防科技大学博士学位论文(2014).

6. https://www.quantamagazine.org/the-era-of-quantum-computing-is-here-outlook-cloudy-20180124/ 

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