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相对论量子信息

2018-03-04

量子理论和相对论都是诞生于20世纪初, 为了解释黑体辐射、原子与核子的结构、运动物理的电动力学等物理难题的基础理论,它们构成了现代理论物理的基础。1948年C.Shannon建立了信息论用来分析通信方法的效率。量子理论、相对论和信息论之间的相互联系是最基本的理论问题。相对论量子信息是在普适的理论框架下,考虑相对论效应对量子信息理论中的概念和应用的影响。伴随着量子信息的迅速发展,相对论效应在量子隐形传态、量子远程时钟同步和纠缠辅助的全球空间定位等应用中都有实际的物理意义。


1. 相对论与信息


在相对论的一般表述中, 观测者是发射、接收信号的物理发射器和探测器。他们的作用是标识和定位时空中的事件。这些信号的传输速度不能超过光速c。这是因为信息是物理的(Landauer, 1991), 任何信息都是编码在遵循物理基本规律的载体中。然而,仅仅是传播速度受限的物理效应,并不能导出A.Einstein在相对论中引入的新的基本概念,例如我们也可以考虑通信的速度不能超过声音的速度。指出,在相对论下,同时是没有绝对的意义的,对相对运动的观测者而言,不同的事件在时间的次序关系上可能是不同的。相对论力学,就是研究相对运动的不同观测者之间的信息传输的理论。信号的反射、探测率和噪声能谱是经典信息论中的基本概念。这些概念的相对论变换性质与通信系统的具体物理实现是无关的。Jarett和Cover在1981年指出,对相对速度为v的观测者而言,信号的传输率将改变多普勒因子的平方image.png


2. 量子力学与信息


信息, 归根结底是编码在物理系统态中的东西。量子信息理论结合了量子力学和信息论中的概念和工具,研究如何用量子系统来编码、传送、接收和处理信息。在量子力学中,系统的力学量是用厄米算符A来表示的。如果系统处于纯态image.png, 则量子探测到对应于的本征态的本征值的几率是image.png。对一般的混态image.png, 相应的几率可以写成image.png。在实际的物理过程中,发射源发出的信号用正定算符image.png表示, 探测器同样可以用正定算符image.png来表示, 其中户标识不同的探测器。探测器拼响应的几率是

image.png

所有的image.png构成一组完备集image.png, 称为正定算符值测量(POVM)。假定Alice以几率image.png制备信号态image.png发送给Bob,  其中image.png Bob利用正定算符值测量image.png对接收到的信号态进行探测, 所能获得的信息为

image.png

其中image.png, Von Neumann 熵image.png。1995年Schumacher将Shannon编码定理推广到量子领域, 指出对量子信源image.png, 如果信道信息传输率image.png, 则存在可靠的传输率为R的编码方法; 如果image.png, 则不存在这样的编码方法。


3. 相对论与量子力学


相对论研究四维时空中的几何结构, 而量子力学是研究物质性质的基本理论。把这两种基本理论结合起来,是一个十分困难的命题。例如,我们无法给分布于整个空间的量子系统(波函数)定义相对论固有时。原则上,固有时是针对有质量的测量装置(观测者)定义的, 装置的Compton波长都很小,以至于其质心具有经典坐标,并沿着连续的世界线。如果有多个的观测者,则无法定义对应于所有观测者的世界线的固有时。所以,与多个相对运动的观测者相关的物理问题是不能用波函数加上相对论变换规则来描述的。


相对论与量子力学的结合,不仅是如何建立动力学规律的技术难题。两种理论的本体之间有着显著的不同。在相对论下,场、速度等物理量都有一定的变换方式,使得粒子和场的运动方程是协变的。例如,在某个惯性参照系下, 洛伦茨力可以写成image.png, 那么在任何其他的惯性参照系下此表达形式都是适用的。但是,在量子力学中波函数不是定义在四维的时空上的,而是定义在多维的Hilbert空间中。当波函数被外界的观测者所测量时, 其变换不是协变的, 只有和测量相关的经典参数是协变变换的。虽然描述波函数的密度矩阵image.png不是协变的, 最后的计算结果(如事件的几率) 必须是洛伦茨不变量。


考虑一个简单的例子, Alice 和Bob 持有一对自旋1/2的粒子, 处于自旋单态image.png。假定Alice 测量发现image.png, 而Bob没有进行任何操作。Bob的粒子的态同时的变成了对应于image.png的态, 这个同时性对任何的惯性参照系都是同样成立的。在这个过程中,并没有信息的即时或超光速传送,相对论因果关系并没有被量子测量所违背。证明上述结论的最基本的物理假定是, 四维时空的洛伦茨变换在量子理论中是通过各种算符的么正变换来实现的, 即洛伦茨群是对应物理体系中的某种对称性。


参考文献:

1. B.Schumacher,Phys.Rev.A 51,2738 (1995).

2. A. Peres. Phys.Rev.A 61,022117 (2000).

3. A. Peres and D. R. Terno, "Quantum information and relativity theory", Rev. Mod. Phys. 76, 93 (2004).

4.  蔡建明,“量子纠缠和消相干的研究”,中国科技大学博士学位论文(2007).

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