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贝尔不等式

2018-03-04

量子纠缠是量子力学中一个奇特的现象,它在量子信息中有着极为重要的用途。量子纠缠的概念源于就对定域实在论和量子理论完备性问题的讨论,定域实在论是一个哲学观点,即外部世界的实在性是客观存在的并具有确定的属性, 它的存在不依赖于是否被人观测。许多科学家和哲学家相信定域实在论, 并试图使量子力学与这种观念相洽。


因为量子力学只能给出随机的概率分布, 于是人们认为量子力学是建立在隐变量基础上的一个统计理论, 从而试图把它纳入经典物理的框架。对此Einstei与Bohr有过多年的争论, 并于1935年和Podolsky及Rosen共同发表了一篇重要文章。文章的基本思想认为, 借助理想实验的逻辑论证方法,可以表明量子理论不能给出对于微观系统的完备的描述。通常称他们的论证为EPR 佯谬, 纠缠对也被称为EPR对。而Bohr不认同他们的观点, Bohr认为实在论的观点就是不可行的。物理界许多人支持Bohr的观点, 还有一部分人认为既然从可观察的现象上来看,这两种观点都解释的通, 所以究竟是哪种观点正确只是一个哲学上的思辩, 怎样理解这个问题只是个人喜好问题。因此,此后的30年, 这个问题被搁置下来, 不是主流的物理学问题。


QQ图片20180226151851_副本.jpg


这种局面直到1964年才发生大的转变, 因为Bell提出了他的著名的假想实验, Bell发现不存在定域实在理论,能从统计上预言量子力学所能预言的贝尔不等式的破坏。贝尔不等式是基于作为EPR佯谬的Bohm翻版。1951年Bohm提议:考虑总自旋为零的1/2粒子对, 比如成对产生的正负电子编号1和2, 处于自旋关联态image.png上, 它们的总自旋为0,它们的自旋方向总是相反,如果1被探测到自旋朝上, 2一定是自旋朝下的。或者反过来,前者是朝下,后者就自旋朝上。事实上,在量子力学上,这两个粒子处于这两种情况的相干叠加态上。它们实际上就是一个纠缠对, 其态可以表示为:

image.png       (1)

有趣的是这两个qubit中的任意一个都不携带一个绝对的指向,单看某一个粒子,它的自旋指向是随机的,唯一确定的是两个粒子间的关系,即如果测到一个的值,我们总能肯定的说出另一个粒子的值,即相反的值,另人难以理解的是,即使把两个粒子拉开很长的一段距离,并且几乎同时测量它们的自旋使得测量事件处于类空间隔,测量结果之间的这种确定性关联仍然存在。需要强调的是,通过把上式在其他方向对应的基矢上展开,比如或轴的基矢,所得到的态的形式不变。这种自旋相反的关系仍然存在。


Bell在1965年考虑Bohm假想实验的文章中, 如果令image.png是纠缠对中的粒子1沿a 方向测得的结果, 令image.png是粒子2沿着b方向的测量结果, 若以image.png为单位自旋, 则有image.png。它们的乘积image.png是这个两粒子系统的可观测量, 它可以用量子力学中的自伴(self-adjoint)算符表示。这个可观测量的量子力学的期待值是:

image.png       (2)

如果两个粒子都沿着同一个方向测, 即image.png时, 有

image.png       (3)

即沿着任何平行的方向轴测A和B的自旋, 得到的结果一定是相反的。由于量子力学给出的态image.png不能知道单个粒子某次测量的结果,按照的推理,存在一个更加明确的态对应某个变量image.png, 使得单个粒子的测量结果也是确定的, 按照EPR 的理解, 量子态image.png是一种一系列未知image.png的这种确定态的一个集合, 每个入都对应确定的单粒子的态, 只不过量子力学的理论无法定出入, 因此又称这个量为“隐变量”。假设我们有一个入构成的系综,每个人的概率为image.png, 在这个“隐变量”构成的空间中积分,就有

image.png        (4)

在确定性的隐变量理论中, 可观测量image.png具有确定的值image.png,Bell定义“定域”为:如果对于任意的image.png, 和“隐变量”空间种的任意一个下面的等式都成立, 则说这种确定性隐变量理论是定域性的:

image.png        (5)

这意味着一旦image.png指定了, 粒子被分开了, 对A测量的结果就只依赖于仓 a 和 image.png, 与b无关, 反之对B 也是如此。按照这种定义, 任何”实在的”、“确定性的”排除超距作用的物理理论都是“定域的”。而对于这种理论, image.png的期望值就是

image.png       (6)


Bell理论在(3)和(5)都满足的情况下,可以证明上面这个期望值满足一个不等式, 而由量子力学得到的(2)不满足这个不等式, 从而定量的检验量子力学和隐变量理论。


接下来, 我们就导出这个不等式。为了让隐变量理论满足式(3), 则

image.png       (7)

对隐变量集合中的任何入都成立, 利用此式, 可以计算出下面的含三个测量方向的函数

image.png       (8)

由于image.png, 上式的绝对值就满足下面的不等式:

image.png       (9)

由等式(4),(5),(7)可得

image.png       (10)

不等式(10)是“贝尔不等式”这类不等式中的第一个。很容易推出量子力学的预言是可以破坏这个不等式的,只需要将量子力学的式(2)代入到式(10)中,然后取一组特殊的image.png 让它们共面,它们之间取特殊的夹角, 即image.png 则

image.png       (11)

可以知道

image.png

显然不满足不等式(10)。这样量子力学的预言会违背基于定域实在论的预言所得的不等式,至少对于选定的特殊的测量方向,量子力学会预言不等式被破坏,而不是像定域实在论预言的那样不等式恒成立。不等式的意义就在于它使得一个貌似哲学的问题纳入到用定量的方法(虽然是统计的测量)可以检验的科学的领域,从而为以后实验验证量子力学完备性铺下了道路。


虽然贝尔研究隐变量理论的初衷是要证明量子理论非局域性有误,可后来所有的实验都表明局域隐变量理论预言有误,而量子理论的预言与实验一致。1972年,第一个验证量子力学非局域性的实验出现了[2]。1982年,贝尔不等式得到阿兰·阿斯佩(Alain Aspect)等人验证,量子理论胜出[3]。但这些实验中存在漏洞。首先是局域性漏洞:两个纠缠的光子距离太近,对贝尔不等式的违背,有可能是靠某个不大于光速的通讯通道来实现的,而非源自量子理论非局域性;其次是测量漏洞:这些实验是用光子做的,光子探测器效率不够高(阈值是82.8%),不能排除测量漏洞。


2015年,荷兰代尔夫特技术大学的物理学家罗纳德·汉森(Ronald Hanson)领导的团队报道他们实现了第一例可以同时解决探测漏洞和通信漏洞的贝尔实验。该研究组使用了一种巧妙的技术,称为“量子纠缠转移”(entanglement swapping),可以将光子与物质粒子的好处结合在一起。最终测量结果表明两个电子之间的相干性超过了贝尔极限,再一次支持了标准量子力学的观点,否定了爱因斯坦的隐变量理论。不仅如此,由于电子很容易检测,探测漏洞就不是问题了,而两个电子之间的距离又足够远,也填补了通信漏洞。


量子信息领域学者认为,这是一个极为重要的实验,学界等待一个无漏洞的贝尔不等式验证实验太久了,它标志着贝尔不等式可以被称为贝尔定律了。这个实验也宣告了局域隐变量理论的死刑:量子非定域性是真实的。


参考文献:

1. 鲁山,“光子纠缠与量子通信”,中国科技大学博士学位论文(2007).

2. Stuart J. Freedman and John F. Clauser。 “Experimental Test of Local Hidden-Variable Theories” Phys. Rev. Lett. 28, 938 (1972)。

3.  Alain Aspect, Jean Dalibard, and Gérard Roger。 “Experimental Test of Bell‘s Inequalities Using Time- Varying Analyzers” Phys. Rev. Lett. 49, 1804 (1982)。

4.  B. Hensen, et al, "Loophole-free Bell inequality violation using electron spins separated by 1.3 kilometres", Nature 526, 682 (2015).

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