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密度矩阵

2018-03-04

量子力学中,密度矩阵描述了量子系统的统计状态。密度矩阵是一个厄米、正定并且归一化的矩阵。也就是说,它满足下列性质:

image.png

这里image.png  如果一个密度矩阵能被表示成image.png,  那么我们称它是一个纯态。如果一个密度矩阵不是纯态,我们就称它为混合态。判断一个密度矩阵是纯态还是混合态的,我们可以采用如下依据:

image.png

在量子力学中, 可观测量用厄米算符来表示。一个可观测量O在量子态image.png上的期望值由下式给出

image.png

现在让我们来考虑这样的一个问题:己知在复合Hilbert空间image.png 上由密度矩阵image.png描述的量子态, 那么在子系统A (B)上的统计状态该如何描述? 这里我们考虑在A系统上的任意可观测量image.png,  它在上的期望值为

image.png

这里image.png被称作子系统A的约化密度矩阵, 它反映了子系统A上局域的统计性质。上式中image.png表示在子系统上的单位矩阵,  image.png表示对子系统B部分求迹, 它的定义为

image.png

一般来说, 当我们只考虑子系统的局域性质时, 我们只需知道它的约化密度矩阵就己经足够了。

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