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量子纠缠

2018-03-04

1935年,A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen和E. Schrodinger描述了量子力学中一种幽灵般的特征——量子力学之复合系统中,存在不能表示为各子系统的直积形式的全局态,并将之称为量子纠缠。量子纠缠体现了多个量子系统间存在非经典的强关联和非定域性。在早期,量子纠缠只是用来将量子理论和经典理论区别开的显著特征,后来人们又意识到量子纠缠可在不同量子系统间可控地产生。近年来,随着量子信息技术的发展,又发现量子纠缠是量子信息与量子计算中的重要资源,且己被广泛应用于量子隐形传态量子密码量子通信等量子信息处理过程中。在这些量子信息处理过程中,作为量子通道的纠缠态大部分都需要处于最大纠缠态或者纠缠度己知旳部分纠缠态,因而对纠缠进行探测及纠缠程度的度量的理论和实验实现研宄就显得非常重要。


近年来,人们已对纠缠度量的理论进行了广泛而深入的研究,也提出了许多不同的度量方法,诸如形成纠缠(EOF, Entanglement of formation),部分熵纠缠度(Partial entropy),相对纠缠度(Relative entropy),负值度(Negativity),并发度(Concurrence),分布纠缠(Distributed entanglement),几何纠缠度(Geometric measure of entanglement)和tangle等。其中形成纠缠就是一种最具有价值的度量方法,但它一般只对两体系统有效,而并发度纠缠度量可以推广到多体系统。随着量子信息技术的实用化发展,量子纠缠度量的实验研究也引起了该领域科学家的极大兴趣。


对于量子纠缠程度的度量和测量,常分为两体纠缠系统与多体纠缠系统,及纯态纠缠与混合态纠缠来进行研究。对于两体纯态,基于子系统的冯诺依曼熵的部分摘纠缠度是一个被广泛接受的纠缠度量的方法,而对于一般的两体系统还有形成纠缠度,可蒸馏纠缠度和相对熵纠缠度等。若要对两量子比特系统的纠缠程度的大小进行测量,可先通过量子态的层析重构方法来测量态的密度矩阵,然后根据相应纠缠度量的定义计算其纠缠度。但是,对于一个两比特一般态而言,需要测量此态密度矩阵的15个参数才能实现重构,这就需要对多个不同可观测量的多次测量,并且重构过程相当复杂。另一方面,两比特量子态的形成纠缠度可表示为纠缠并发度的简单函数,人们可以通过设计恰当的量子线路或物理方案,通过对单个可观测量的测量,直接测量任意两比特纯态的并发度,从而得到其形成纠缠度。


一般的多比特量子系统的纠缠度量相当复杂,目前常采取的方法是将多体系统分为两子系统,再利用两体纠缠度量方法去测量多体系统中子系统的分布纠缠。例如针对三量子位的纠缠态,Goffman等人对各量子位间的分布纠缠和剩余纠缠进行了深入研究,给出了多体系统的两子系统间的纠缠并发度和一个子系统与剩余子系统间的纠缠并发度来表示纠缠度分布的量化方法,并对常见的三量子位纠缠态即W态和GHZ态的纠缠并发度的分布进行了计算,并将这一度量方法推广到了更多量子位纠缠纯态的纠缠分布的研宄。Amico等人最近对多体系统纠缠及其测量进行了评述。


1. 量子纠缠态的概念


多体量子系统内可存在量子纠缠,而体系的量子态一般分为纯态和混合态两类。首先,我们从数学形式上来看两体量子态,对于一个两粒子体系A和B的纯态,若描述复合系统的量子态image.png, 不能表示成两子体系和态矢量的直积image.png时,则称这两个子体系和是互相纠缠的,由他们所构成的复合体系AB处于量子纠缠态。而对由两子体系A和B构成的混合态image.png,如果描述此混合态系统的密度矩阵不能写成直积态的凸组合,即image.png, 我们就称此混合态系统处于纠缠态, 其中的image.png, image.png


这种可分性的判定方法也可以推广到由三个及以上子系统构成的复合系统。如果复合系统的量子系态不能用各子系统态的直积(或凸组合)来表示,则复合系统处于纠缠态,反之为非纠缠态或直积态。


2. 几个常见的量子纠缠态

下面我们简单地介绍在量子计算与量子信息中得到广泛应用的几个量子纠缠态。


(1) Bell类态--两体纠缠纯态的代表

对于由两双态子系统构成的复合系统,存在一类可以通过局域操作和经典通信(LOCC)相互转化的纠缠纯态,称之为Bell类态,并表示为如下四个形式:

image.png


这里image.pngimage.png是双态子系统A,B的两个态,image.pngimage.png表示复合系统的态,且有归一化条件image.png。当image.png时,  image.pngimage.png表示为如下四个Bell态或Bell基:

image.png

这四个Bell态也是两体双态系统的最大纠缠态,有时也称为EPR态。


(2) Werner态--两体纠缠混合态的代表


上述态虽是最具有代表性的纠缠纯态,但由于环境消相干原因,纯态可能常会退化为混合态。而若经各向同性的消相干信道后,态将会退化为一种典型的混合态- Werner态。Werner态可以表示为单态和完全混合态按比例混合而成的态:

image.png

这里I 是一个4×4的单位矩阵,F为保真度,且image.png为四个Bell态之中的单态。当image.png时,werner态是违背CHSH不等式。


此外,也有推广的类werner态:

image.png

这里p为态的纯度,且image.png


(3) Collins-Gisin类态


Collins-Gisin态也是一个特殊的两体混合态,且为两个特殊纯态的混合,并可表示为:

image.png

其中image.png 


(4) GHZ态和W态--三体纠缠态的代表


一般地,包含三个及以上量子位的纠缠态被称为多体纠缠态。多体纠缠态中引起人们关注最多的是GHZ态和W态,且在LOCC条件下,他们之间不能相互转换。双态三体GHZ态和W态可分别表示为:


image.png     image.png

相应地,双态N体类态和W类态可以分别写为:

image.pngimage.png

这里分别存在归一化条件image.pngimage.png



3. 量子纠缠探测


量子纠缠在量子信息与量子计算中得到广发应用,作为核心资源的量子纠缠制备的研究也取得了巨大进展。人们相信,随着量子调控技术的不断提高,相干时间保持较长的更大体系的纠缠态也有望得到。这样人们就会思考,制备好的态是否就是所需要的纠缠态,其纠缠程度怎样?下面我们将介绍量子纠缠的探测及其纠缠程度的度量。


首先,我们以两体量子态为例。要判断两体态是否是纠缠态,Peres己经论证后给出了这样结论:这个两体复合系统态的密度矩阵image.png 的部分转置矩阵如果是一个正定矩阵,则该两体系统的态是一个分离态。如果态image.png是可分离态,则可以表示为子系统的态随积和权翻凸组合image.png,否则image.png为纠缠态。这就是所谓的纠缠探测分离问题。在这之后,人们构造了许多探测纠缠的分离判据,比较著名的就有PPT判据、CCNR判据和纠缠见证。


(1) 部分转置正定判据 (Positive partial transposition, PPT)


如果两体双态系统的密度矩阵image.png是一个可分离态,则是PPT 的。这也可以推广到,如果密度矩阵image.png是一个在2〤2或3×3系统的态,当密度矩阵image.png是PPT时,则其为可分离态。但对更高维系统这个结论不一定成立。


(2) 可计算交叉范数或重排判据(computable cross norm or realignment criterion, CCNR)


PPT判据并不能适用于所有态,而CCNR判据是一个既简单使用性又强的判据。对一个密度矩阵image.png将其在算符空间中做斯密特分解image.png,其中斯密特系数image.png分别是子空间image.pngimage.png中算符的标准正交基,image.png。如果态image.png是可分离态,则image.png的和小于等于1,即image.png。而如果image.png,则态image.png为纠缠态。


(3) 纠缠目击 (Entanglement witnesses)


上面两个判据要求己知判定对象态的密度矩阵,才可判断其是纠缠与否。然而还有一种分离判据,根据可观测量直接判定是否纠缠,这就是所谓纠缠见证,也叫纠缠观测者、纠缠目击者。


定义一个可观测量w为纠缠目击,其需满足如下条件:

对可分离态image.png,且至少存在一个纠缠态image.png,并有image.png。这样,如果对态image.png测量并有image.png,则可判定其为纠缠态。


对于多体量子态,如GHZ态、W态、图态和Dick态等,也可构造相应的纠缠见证来探测此态是否为纠缠态。对任意的纠缠态,至少存在(或能构造)一个纠缠目击w来探测,但是如何构造纠缠目击w又是一个不太容易的问题。


4. 量子纠缠的度量


上面讲到的只是探测一个量子态是否是纠缠态。如果是纠缠态,那么它的纠缠程度怎样,或者说纠缠态的纠缠是多少,这就需要对纠缠进行度量。另外,将量子纠缠应用于量子信息过程中,经由一两比特最大纠缠通道可以传送一量子比特信息。但如果量子通道处于非最大纠缠态,这种单比特的传送方式就不是可靠的。而如果有大量的这种纠缠程度已知的非最大纠缠通道的拷贝,就可以一定的概率来传送有效信息。因而对量子纠缠态的纠缠程度进行度量或测量就显得尤为重要且具有理论与实际应用意义。


目前,对纠缠的可便于计算的度量还没有很好的普遍定义,但对一个好的纠缠度image.png, —般要求其遵循以下几个假设条件:


①对于可分离态image.png,它的纠缠度自然应该满足image.png;

②对态image.png,在局域操作和经典通讯(LOCC) 下,其纠缠度image.png是不变的。即具有局域么正变换不变性image.png

③在LOCC下,将态image.png以概率image.png映射为态image.png,则image.png

④纠缠度image.png具有凸性,即将多个态混合后的纠缠度应不增加,其表示为image.png。当然,对两个子系统构成的复合系统态的纠缠度,若image.png存在简单的可加性,即image.png,则为优秀的纠缠度方法。


实际上,目前所提出的纠缠度,并不都能满足上面全部的假设条件,每一种度量方法各有优缺点。下面介绍在量子信息中常用的几个纠缠度。


(1) 部分熵纠缠度(Partial entropy)


对于一个两体量子系统的纯态image.png,其部分熵纠缠度被定义为系统态密度矩阵image.png的约化密度矩阵的冯诺依曼熵,即

image.png

其中约化密度矩阵image.png。对于量子比特情形,上式中对数的底为2。


(2)相对熵纠缠度(Relative entropy)

相对熵纠缠度定义为:两体复合系统image.png对于所有可分离态image.png的相对熵集合中最小值, 即,

image.png

这里D表示表示所有可分离态image.png的集合。相对熵image.png的计算式是

image.png

相对摘纠缠度也是一种两态之间的距离测量(Distance measure)方法。


(3) 蒸馏纠缠和纠缠消耗


对于一个给定态image.pngimage.png份拷贝,如果利用局域变换和经典通信(LOCC) 可以从中提取出image.png对单态最大纠缠态,则蒸馏纠缠(entanglement of distillation) 定义为:

image.png

相反地,利用局域变换和经典通信(LOCC),将image.png个单态映射为image.png个目标态image.png, 纠缠消耗(Entanglement cost)定义为:

image.png

而对于纯态,纠缠蒸馏和纠缠消耗可用子系统的约化密度矩阵的冯诺依曼熵来表示:

image.png


(4) 生成纠缠(Entanglement of formation, EOF)

若对一个给定的两体任意量子态image.png进行分解,总可以写为image.png , 其生成纠缠度定义为态image.png的所有纯态分解的最小平均纠缠

image.png

这里image.png是A对位的约化密度矩阵image.png


(5)负值度 (Negativity)


基于Peres的PPT判据,Vidal 和Wenner 引入一个可计算的纠缠度量--负值度:

image.png

这里,image.png表示部分转置态image.png(partially transposed state)的奇异本征值的和。双态多体纠缠系统的负值度也可以表示为如下对数形式

image.png


这种定义具有较好的可加性。特别是对于双态两比特系统,纠缠负值度也可以表示为:

image.png

这里image.pngimage.png的部分转置密度矩阵的最小本征值。对两量子比特可分离态,其部分转置密度矩阵没有负本征值;而对于两比特纠缠态,其部分转置密度矩阵只有一个负的本征值。


(6) 几何纠缠度(Geometric measure of entanglement)


对多体系统一个好的纠缠度就是几何纠缠度,它是对与可分态之间的差异性进行量化。对纯态系统的几何纠缠度 image.png定义为:

image.png

(7) 纠缠并发度(Concurrence)


对于两体量子系统,一个很好的度量方法是纠缠并发度。对于两体纯态系统,并发度的定义为:

image.png

这里image.png是态image.png对A位的约化密度矩阵。


另外,两体双态系统的纯态image.png其纠缠并发度也可通过下式来计算,

image.png

其中image.png, image.png叫是标准泡利算符,image.png表示复共轭运算。


对于两比特混合态,其纠缠并发度也可以解析地表示为

image.png

这里功image.png是密度矩阵image.png的本征值,并按降序排列,image.pngimage.png在标准基下的复共轭。


特别是,两比特混合态的生成纠缠度EOF,可用并发度来表示:

image.png


这里image.png为二进制熵函数。纠缠并发度的上述定义对—般多体高维情形并不一定成立,但可以在此基础上进行推广,将多体纯态分割成两体,便可讨论多体纠缠并发度的分布,即分布纠缠。


(8)Three-tangle


对于一个三比特一般纠缠纯态可用分布纠缠方法和Three-tangleimage.png来度量其纠缠,并可表示为

image.png

这里image.png是量子位A与量子位BC间的并发度,而image.png表示量子位A与量子位B间的并发度。



参考文献:

1.  A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen, Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?. Phys. Rev. 47 , 21 (1935).

2.  E. Schrdinger, Discussion of probability relations between separated systems. Proc. Cambridge Philos. Soc. 31 , 555 (1935).

3.  R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki, and K. Horodecki, Quantum entanglement. Rev. Mod. Phys. 81 , 865 (2009).

3. 章礼华,“量子纠缠的直接测量研究”,安徽大学博士学位论文(2014).

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