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EPR佯谬

2018-03-04

爱因斯坦等人对于量子力学中固有的概率性描述非常不安,而概率性描述又是量子物理的基本特性。他们始终不相信“上帝是喜欢掷般子的”, 在年从局域性、实在论、物理量的可观测出发推论出存在纠缠关联的两体系统物理量的同时的确定性与量子力学中不对易关系的不可同时测量原理间存在矛盾, 人们称之为“佯谬”。爱因斯坦等人由此论证量子力学理论是不完备的,认为量子理论中的概率性是由未知的隐变量导致的。爱因斯坦当初的论证是基于连续变量位置和动量两个物理量的。这里,我们利用两光子极化单态称为对对“佯谬”作简要阐述。两光子极化单态的波函数:

image.png

若对光子A (或B) 的极化状态单独进行测量, 则测量结果可能是image.png, 也可能是image.png, 各自概率均为1/2。但若已知测量光子A 的结果为image.png, 那么, 光子不管测量与否,其极化必然处在image.png上。假定光子、向相反方向飞行足够大的距离同时对它们的极化测量时间又足够接近, 也就是说这两次测量为类空间隔,在经典局域理论中因为没有超距的相互作用(否则会违背因果律), 即信息的传递不会超光速, 那么光子A和光子B的测量是互相没有影响的。从而,我们得出的结论是这两个光子的极化状态的纠缠关联在相互远离之前就己经建立并保持着, 直至对两个光子的极化测量才随机塌缩的。


在测量为类空间隔的前提下,我们考虑对光子极化单态的观测。分析之前,首先介绍描述光子极化的泡利算符:

image.png

相对应的本征态分别是:

image.png


上述三组对应算符下的本征态组均是光子极化的完备正交基。光子极化单态可以对这些基矢组展开成如下形式:

image.png


可以看到, 若对光子A进行image.png测量结果为image.png。那么根据上式可以肯定地推断B处于image.png态上, 反之亦然。


我们现在考虑对光子A进行image.png测量, 光子B进行image.png测量, 这样 image.png测量结果可断定image.png的值, 同时image.png测量结果可断定image.png的值, 同时得到了一个极化光子image.png的值。然而,在量子力学的观点看来,三个极化态可观测量算符彼此不对易,测量结果不能同时具有确定的值。


爱因斯坦等人坚信对于任何一个有意义的物理实在测量结果是确定的,认为可观测物理量值的确定性与量子力学不对易关系决定的不可同时测量之间的矛盾正说明了量子力学波函数的描述方式并不是客观实在的完备物理描述的。那么量子力学中,人们只能对单次测量结果做统计性预言说明人们对被测物体的认识和描述是不完备的。于是很多人开始猜测量子力学之外或许有隐变量的存在。


那么隐变量在哪里? 至少现在实验上并没有发现新的实在的可观测的物理量的。如果隐变量存在,它理应显而易见,可被实验发现并验证的。现在普遍的观点认为,量子力学物理图像的描述是完备的, 量子力学之外并不存在什么隐变量。问题出在哪里呢? 物理量是可测量的, 但并不代表在测量之前它是确定的, 根据量子力学态叠加原理,粒子状态不再是简单的非此即彼, 测量之前亦此亦彼,测量之后非此即彼。对两个子系统的测量是类空间隔的, 这并不妨碍子系统关联的非局域性, 形成系统的统一状态描述。有什么理由拒绝量子的非局域性观点呢? 存在量子关联光子A和B, 不管空间上相距多远, 对其中一个光子的测量, 另一个光子的状态就会立刻改变。这种现象并不违背因果律, 首先量子关联的建立是局域的, 其次在未测量和无干扰的情况下量子关联是保持的, 另外对的测量结果毫不知情时对测量之前状态未知,对测量结果概率性的。


长期以来,这个争论仅停留在哲学层面的探讨上, 难以判断“孰是孰非”, 局域隐变量理论和量子力学对物理实在物理现象的描述似乎都可以, 直到Bell从爱因斯坦局域隐变量理论和量子力学的假设推导出实验上不一致的结果即著名的贝尔不等式, 人们才看到有可能在实验上寻找判定谁才是这场争论的最终胜者。


对于量子力学描述的量子态image.png, 隐变量理论认为它并没有完全刻画粒子状态,真实的粒子状态应当是image.png,image.png是当前不能为实验技术所控制、观测的隐变量。考虑一对存在纠缠的光子极化态进行测量。A、B 两光子组成一个统一的纠缠态, 对A粒子沿方向a测量和 B 粒子沿 b 方向测量所得的平均值为:

image.png


而从局域隐变量观点出发, 隐变量image.png随机变化, 两光子的联合测量所得平均结果是对所有隐变量image.png的积分平均, 三个联合测量的关联函数image.png, image.png满足下式的关系, 即Bell不等式:

image.png


将量子力学的结果代入上式可得:

image.png


上式中, 如果取a、b和b、c测量投影方向夹角均为image.png, a、c的夹角image.png, 上式变成了1<1/2。显然量子力学和局域隐变量理论的结果是矛盾的。


如此, Bell不等式给出了一条实验上可检验量子力学理论和定域实在理论孰对孰错的途径。前面提到的单态image.png和另外三个纠缠态被合称为”态:

image.png

Bell态构成了两体二维正交完备基,被用来解决EPR佯谬。因此很多时候,它们也被称为EPR对,或者Bell纠缠态。


之后, 人们提出了各种Bell 不等式类似的判别定理来展现量子力学和定域实在论之间的矛盾, 并在实验上开始检验这一矛盾。目前世界上的各种相关实验的实验结果基本上都不同程度违背了Bell不等式, 而与量子理论预言吻合。但是目前的实验检验也都存在着经常被拿来辩驳的漏洞, 主要是类空间隔漏洞和探测效率漏洞。因此还需要进一步的实验技术发展来克服这两个漏洞, 以期确定地判定量子力学和定域实在论孰是孰非。


除了Bell不等式这样利用量子统计关联的方法检验量子力学和定域实在论的矛盾,人们发现还存在着某种非此即彼类型的结论用以判定量子力学和定域实在论,即利用对系统的一组物理量的单次测量进行检验,而无需统计积累测量。


参考文献:

1.  A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen, Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?. Phys. Rev. 47 , 21 (1935).

2.  E. Schrdinger, Discussion of probability relations between separated systems. Proc. Cambridge Philos. Soc. 31 , 555 (1935).

3.  R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki, and K. Horodecki, Quantum entanglement. Rev. Mod. Phys. 81 , 865 (2009).

4. 金贤敏,“远程量子通信的实验研究”,中国科学技术大学博士学位论文(2008).

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